23/5 Teorema di Hall per i gruppi risolubili.
21/5 Gruppi nilpotenti: sottogruppo di Frattini e quoziente $G/\Phi(G)$. Teorema di caratterizzazione (prodotto diretto dei $p$-Sylow, ogni sottogruppo normale è massimale, i normalizzanti crescono). Esempi. Definizione di gruppo risolubile.
16/5 Sottogruppi e immagini omomorfe di gruppi nilpotenti. I $p$-gruppi finiti sono nilpotenti. Esempi. Sottogruppi normali e minimali di gruppi nilpotenti.
14/5 Commutatore di due sottogruppi : $[H,K]$. Gruppi nilpotenti. Serie centrale ascendente e discendente.
9/5 Esercitazione in classe.
9/5 Gruppi iniettivi e divisibili: esempi. Derivato di un gruppo: proprietà ed esempi.
7/5 Determinazione della "struttura ciclica" di un gruppo di abeliano finitamente generato a partire dalla sua presentazione (finita). Esempi. Gruppi liberi. Proprietà universale di sollevamento di un omomorfismo $\Phi :A \rightarrow G/H$ a $G$ dove $A$ è libero abeliano (proprietà di proiettività dei gruppi liberi).
2/5 Gruppi abeliani finitamente generati: teorema di struttura ciclica. Sottogruppo di torsione e parte libera. Esempi.
30/4 Relazioni fra il sottogruppo di Frattini di un gruppo $G$ e l'esistenza di sottogruppi massimali. Argomento di Frattini.
23/4 Generatori e relazioni di un gruppo. Gruppi finitamente generati con sottogruppi non finitamente generati. Sottogruppi di indice finito in gruppi f.g. e gruppi f.g. abeliani. Definizione di elemento NON GENERATORE, sottogruppo di Frattini $\phi(G)$: prime proprietà.
16/4 Classificazione dei gruppi di ordine $12$. Formula di Burnside e caratteri.
11/4 Esercitazione in classe.
11/4 Normalizzante di un sottogruppo in un $p$-gruppo. I gruppi semplici di ordine 60.
9/4 Descrizione dei $p$-Sylow di un sottogruppo e di un quoziente di un gruppo. Azioni di un gruppo su un insieme: orbite e stabilizzatori. Normalizzante di un sottogruppo in un p-gruppo.
28/3 Esercitazione in classe.
28/3 Esempi ed applicazioni dei Teoremi di Sylow. Gruppi di ordine $pq$, $p^2q$. $A_5$ non è sempre prodotto dei suoi $p$-Sylow.
26/3 I tre teoremi di Sylow. Teorema di Cayley generalizzato.
21/3 Semplicità di $A_n$ per $n \geq 5$. Gli automorfismi di $S_n$ sono tutti interni per $n \neq 6$. I sottogruppi di $S_n$ di indice $n$.
19/3 I gruppi di ordine $8$. Il quoziente di un prodotto semidiretto. Gruppi alterni $A_n$: generatori e sottogruppi normali.
14/3 Esercitazione in classe.
14/3 Un criterio di isomorfismo fra prodotti semidiretti. Costruzione del gruppo diedrale $D_n$ come prodotto semidiretto di $\mathbb Z_2$ con $\mathbb Z_n$. I gruppi di ordine $6$.
12/3 Prodotto diretto di gruppi. Struttura dei gruppi finiti nei quali ogni elemento diverso da 1 ha ordine $p$. Prodotto semidiretto.
7/3 Centralizzante e normalizzante di un $n$-ciclo in $S_n$. Programma di Holder. Serie di composizione. Unicità della serie di composizione di un gruppo finito G (teorema di Jordan-Holder).
5/3 Teorema di Brauer sulla relazione fra la cardinalità dei centralizzanti delle involuzioni e la cardinalità di un gruppo finito. Il coniugio in $S_n$. Normalizzante e centralizzante di un sottogruppo. Relazione di coniugio per i sottogruppi e sue connessioni con l'indice del normalizzante. automorfismi di un sottogruppo $H$ di un gruppo $G$ e loro relazioni con gli automorfismi interni di $G$.
28/2 La relazione di coniugio fra gli elementi di un gruppo. Centro di un gruppo. Centralizzante di un elemento. Equazione delle classi. Il centro di un $p$-gruppo è non banale. I gruppi di ordine $p^2$ sono abeliani. L'inverso del Teorema di Lagrange nei $p$-gruppi. Il coniugio per le involuzioni.
26/2 Il numero di generatori di un gruppo di cardinalità n è minore o uguale a $\log_2(n)$. Una stima sul numero massimo di gruppi di ordine $n$ non isomorfi. Sottogruppi normali e gruppi quoziente. Prodotti di sottogruppi normali e permutabilità degli elementi. Ciclicità dei gruppi con al più un sottogruppo di ordine fissato. Omomorfismi e automorfismi di gruppi: esempi e prime proprietà.
21/2 Sottogruppi, classi laterali e cardinalità: teorema di Lagrange. I gruppi di ordine 4 e 6. Teorema di Cauchy. $p$-gruppi. Sottogruppi massimali.
19/2 Definizione di gruppo. Prime proprietà. Sottogruppi. Intersezione ed unione di sottogruppi. Gruppi ciclici e sottogruppi di gruppi ciclici. Gruppi di permutazioni e gruppi diedrali: prime proprietà.
21/5 Gruppi nilpotenti: sottogruppo di Frattini e quoziente $G/\Phi(G)$. Teorema di caratterizzazione (prodotto diretto dei $p$-Sylow, ogni sottogruppo normale è massimale, i normalizzanti crescono). Esempi. Definizione di gruppo risolubile.
16/5 Sottogruppi e immagini omomorfe di gruppi nilpotenti. I $p$-gruppi finiti sono nilpotenti. Esempi. Sottogruppi normali e minimali di gruppi nilpotenti.
14/5 Commutatore di due sottogruppi : $[H,K]$. Gruppi nilpotenti. Serie centrale ascendente e discendente.
9/5 Esercitazione in classe.
9/5 Gruppi iniettivi e divisibili: esempi. Derivato di un gruppo: proprietà ed esempi.
7/5 Determinazione della "struttura ciclica" di un gruppo di abeliano finitamente generato a partire dalla sua presentazione (finita). Esempi. Gruppi liberi. Proprietà universale di sollevamento di un omomorfismo $\Phi :A \rightarrow G/H$ a $G$ dove $A$ è libero abeliano (proprietà di proiettività dei gruppi liberi).
2/5 Gruppi abeliani finitamente generati: teorema di struttura ciclica. Sottogruppo di torsione e parte libera. Esempi.
30/4 Relazioni fra il sottogruppo di Frattini di un gruppo $G$ e l'esistenza di sottogruppi massimali. Argomento di Frattini.
23/4 Generatori e relazioni di un gruppo. Gruppi finitamente generati con sottogruppi non finitamente generati. Sottogruppi di indice finito in gruppi f.g. e gruppi f.g. abeliani. Definizione di elemento NON GENERATORE, sottogruppo di Frattini $\phi(G)$: prime proprietà.
16/4 Classificazione dei gruppi di ordine $12$. Formula di Burnside e caratteri.
11/4 Esercitazione in classe.
11/4 Normalizzante di un sottogruppo in un $p$-gruppo. I gruppi semplici di ordine 60.
9/4 Descrizione dei $p$-Sylow di un sottogruppo e di un quoziente di un gruppo. Azioni di un gruppo su un insieme: orbite e stabilizzatori. Normalizzante di un sottogruppo in un p-gruppo.
28/3 Esercitazione in classe.
28/3 Esempi ed applicazioni dei Teoremi di Sylow. Gruppi di ordine $pq$, $p^2q$. $A_5$ non è sempre prodotto dei suoi $p$-Sylow.
26/3 I tre teoremi di Sylow. Teorema di Cayley generalizzato.
21/3 Semplicità di $A_n$ per $n \geq 5$. Gli automorfismi di $S_n$ sono tutti interni per $n \neq 6$. I sottogruppi di $S_n$ di indice $n$.
19/3 I gruppi di ordine $8$. Il quoziente di un prodotto semidiretto. Gruppi alterni $A_n$: generatori e sottogruppi normali.
14/3 Esercitazione in classe.
14/3 Un criterio di isomorfismo fra prodotti semidiretti. Costruzione del gruppo diedrale $D_n$ come prodotto semidiretto di $\mathbb Z_2$ con $\mathbb Z_n$. I gruppi di ordine $6$.
12/3 Prodotto diretto di gruppi. Struttura dei gruppi finiti nei quali ogni elemento diverso da 1 ha ordine $p$. Prodotto semidiretto.
7/3 Centralizzante e normalizzante di un $n$-ciclo in $S_n$. Programma di Holder. Serie di composizione. Unicità della serie di composizione di un gruppo finito G (teorema di Jordan-Holder).
5/3 Teorema di Brauer sulla relazione fra la cardinalità dei centralizzanti delle involuzioni e la cardinalità di un gruppo finito. Il coniugio in $S_n$. Normalizzante e centralizzante di un sottogruppo. Relazione di coniugio per i sottogruppi e sue connessioni con l'indice del normalizzante. automorfismi di un sottogruppo $H$ di un gruppo $G$ e loro relazioni con gli automorfismi interni di $G$.
28/2 La relazione di coniugio fra gli elementi di un gruppo. Centro di un gruppo. Centralizzante di un elemento. Equazione delle classi. Il centro di un $p$-gruppo è non banale. I gruppi di ordine $p^2$ sono abeliani. L'inverso del Teorema di Lagrange nei $p$-gruppi. Il coniugio per le involuzioni.
26/2 Il numero di generatori di un gruppo di cardinalità n è minore o uguale a $\log_2(n)$. Una stima sul numero massimo di gruppi di ordine $n$ non isomorfi. Sottogruppi normali e gruppi quoziente. Prodotti di sottogruppi normali e permutabilità degli elementi. Ciclicità dei gruppi con al più un sottogruppo di ordine fissato. Omomorfismi e automorfismi di gruppi: esempi e prime proprietà.
21/2 Sottogruppi, classi laterali e cardinalità: teorema di Lagrange. I gruppi di ordine 4 e 6. Teorema di Cauchy. $p$-gruppi. Sottogruppi massimali.
19/2 Definizione di gruppo. Prime proprietà. Sottogruppi. Intersezione ed unione di sottogruppi. Gruppi ciclici e sottogruppi di gruppi ciclici. Gruppi di permutazioni e gruppi diedrali: prime proprietà.
